1.1 Polarkoordinaten und Erhaltungssätze

1.1.1  Position und Bewegung in Polarkoordinaten

Es ist zweckmäßig zusätzlich Polarkoordinaten (r,φ) für die xy-Ebene einzuführen, wobei r den Betrag des Radiusvektors von der Sonne zum Planeten ( $\overrightarrow{r}$ ) und φ den Winkel zwischen der x-Achse und $\overrightarrow{r}$ bezeichnet. Es gilt:

$x\left(t\right)=r\left(t\right)cos\left(\phi \left(t\right)\right);y\left(t\right)=r\left(t\right)\sin \left(\phi \left(t\right)\right)$

Die Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten werden als e_x und e_y bezeichnet, die Einheitsvektoren in Polarkoordinaten werden als e_r und e_φ bezeichnet, wobei e_φ senkrecht auf e_r steht und die Einheitsvektoren in Polarkoordinaten zeitlich veränderlich sind. Es gilt:

${\mathit{e}}_r={\mathit{e}}_r\left(\phi \left(t\right)\right)=cos\left(\phi \left(t\right)\right){\mathit{e}}_x+\sin \left(\phi \left(t\right)\right){\mathit{e}}_y$

${\mathit{e}}_{\phi }={\mathit{e}}_{\phi }\left(\phi \left(t\right)\right)=-sin\left(\phi \left(t\right)\right){\mathit{e}}_x+\cos \left(\phi \left(t\right)\right){\mathit{e}}_y$

Mit der Kettenregel können die Ableitungen nach t berechnet werden:

${\stackrel{\dot{}}{\mathit{e}}}_r=\frac{d{\mathit{e}}_r\left(\phi \left(t\right)\right)}{dt}=\dot{\mathrm{\phi }}\left(\mathrm{t}\right)(-\sin \left(\phi \left(t\right)\right){\mathit{e}}_x+cos\left(\phi \left(t\right)\right){\mathit{e}}_y)=\stackrel{\dot{}}{\phi }{\mathit{e}}_{\phi }$

${\stackrel{\dot{}}{\mathit{e}}}_{\phi }=\frac{d{\mathit{e}}_{\phi }\left(\phi \left(t\right)\right)}{dt}=\dot{\mathrm{\phi }}\left(\mathrm{t}\right)(-cos\left(\phi \left(t\right)\right){\mathit{e}}_x-\sin \left(\phi \left(t\right)\right){\mathit{e}}_y)=-\dot{\phi }{\mathit{e}}_{\phi }$

Der Ortsvektor ist definiert als:

$\overrightarrow{r}\left(t\right)=r\left(t\right){\mathit{e}}_r\left(t\right)$

Daraus ergibt sich mit der Kettenregel für den Geschwindigkeitsvektor:

$\left(1.1\right)\overrightarrow{v}\left(t\right)=\dot{\overrightarrow{r}}\left(t\right)=\dot{r}\left(t\right){\mathit{e}}_r\left(t\right)+r\left(t\right)\dot{{\mathit{e}}_r}\left(t\right)$

$=\dot{r}\left(t\right){\mathit{e}}_r\left(t\right)+r\left(t\right)\dot{\phi }\left(t\right){\mathit{e}}_{\phi }\left(t\right)$

$=v_r\left(t\right){\mathit{e}}_r\left(t\right)+v_{\phi }\left(t\right){\mathit{e}}_{\phi }\left(t\right)$

Die Komponente $v_r$ des Geschwindigkeitsvektors wird als Radialgeschwindigkeit und die Komponente $v_{\phi }$ des Geschwindigkeitsvektors wird als Umfangsgeschwindigkeit definiert:

$\left(1.2\right)v_r=\dot{r},v_{\phi }=r\dot{\phi }$

Das folgende Bild zeigt die Komponenten $v_r$ und $v_{\phi }$ des Geschwindigkeitsvektors v eines Objekts auf einer elliptischen Bahn im Abstand r von der Sonne. Die Grafik wurde mit dem Matlab Skript „ ./Matlab_Grafik/bahn_vektor_grafik.m “ erzeugt.

 

1.1.2    Energieerhaltungssatz

Die Summe E aus potentieller Energie E_pot (potentielle Gravitationsenergie) und kinetischer Energie E_kin ist zeitlich konstant:

$\left(1.3\right)E=E_{kin}+E_{pot}=\frac{1}{2}m{v}^2\left(t\right)-GMm\frac{1}{r\left(t\right)}$

Mit (1.2) folgt daraus:

$(1.3\text{'})E=\frac{1}{2}m({v_r}^2\left(t\right)+{v_{\phi }}^2\left(t\right))-GMm\frac{1}{r\left(t\right)}$

$=\frac{1}{2}m({\left(\dot{r}\left(t\right)\right)}^2+{\left(r\left(t\right)\dot{\phi }\left(t\right)\right)}^2)-GMm\frac{1}{r\left(t\right)}$

Für t = 0 sei der Planete im Perihel, das ist der sonnennächste Punkt des Planeten auf der elliptischen Bahn um die Sonne. Hier ist der Abstand $r_p$ des Planeten zu Sonne minimal und die Geschwindigkeit $v_p$ des Planeten maximal. Es gilt:

$v_r\left(0\right)=0,v_{\phi }\left(0\right)=v_p,r\left(0\right)=r_p$

Für t = T/2 (halbe Umlaufzeit) ist der Planet im Aphel, das ist der sonnenfernste Punkt des Planeten auf der elliptischen Bahn um die Sonne. Hier ist der Abstand $r_a$ des Planeten zu Sonne maximal und die Geschwindigkeit $v_a$ des Planeten minimal. Es gilt:

$v_r\left(\frac{T}{2}\right)=0,v_{\phi }\left(\frac{T}{2}\right)=v_a,r\left(\frac{T}{2}\right)=r_a$

 

1.1.3    Drehimpulserhaltungssatz

Der Drehimpulsvektor

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}=m(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v})$

ist in Betrag und Richtung konstant, hierbei bezeichnet $\overrightarrow{p}$ den Impuls und „x“ das Kreuzprodukt.

Daraus folgt mit (1.1) und den Rechenregeln des Kreuzprodukts:

$\overrightarrow{L}=m(\left(r\left(t\right){\mathit{e}}_r\left(t\right)\right)\times (v_r\left(t\right){\mathit{e}}_r\left(t\right)+v_{\phi }\left(t\right){\mathit{e}}_{\phi }\left(t\right)))$

$=mr\left(t\right)v_{\phi }\left(t\right)\left({\mathit{e}}_r\left(t\right)\times {\mathit{e}}_{\phi }\left(t\right)\right)=mr\left(t\right)v_{\phi }\left(t\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Mit (1.2) folgt daraus für den Absolutbetrag L des Drehimpulsvektors:

$\left(1.4\right)L=\left|\overrightarrow{L}\right|=mr\left(t\right)v_{\phi }\left(t\right)=m{r}^2\left(t\right)\dot{\phi }\left(t\right)$

 

1.1.4    Bahngeschwindigkeit im Perihel und Aphel

Da die Energie E und der Drehimpuls L zeitlich konstant sind, folgt aus (1.3) und (1.4) :

$E=\frac{1}{2}m{\mathrm{v}}_{\mathrm{p}}^2-GMm\frac{1}{r_p}=\frac{1}{2}m{\mathrm{v}}_{\mathrm{a}}^2-GMm\frac{1}{r_a}$

$L=m{r}_p{v}_p=m{r}_p{v}_p$

Aus diesen zwei Gleichungen lässt sich v_p und v_a berechnen, siehe auch https://www.lehman.edu/faculty/anchordoqui/chapter25.pdf

Es gilt:

$v_p=\sqrt{\frac{2GM{r}_a}{(r_a+r_p)r_p}},v_a=\sqrt{\frac{2GM{r}_p}{\left(r_a+r_p\right)r_a}}$

Damit kann E und L aus den Werten für G, M (Sonne), m (Erde), r_p, r_a und den oben berechneten Werten für v_p und v_a bestimmt werden. Es gilt:

E = -2.64978299e+33 J

L = 2.66099160e+40 Nms

Die folgende Grafik zeigt die Geschwindigkeitsvektoren eines Objekts im elliptischen Orbit um die Sonne. Der Abstand zur Sonne im Perihel ist ca. eine astronomische Einheit (AE), die Geschwindigkeit im Perihel ca. 37 km/s (Erde ca. 30 km/s). Die Grafik wurde mit dem Matlab Skript „ ./Matlab_Grafik/bahn_ODE_grafik.m “ erzeugt.

 

 

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