Das allgemeine 2-Körper-Problem beschreibt die Bewegungen von zwei Objekten im Raum (Himmelskörper) auf die nur die gegenseitige Anziehungskraft wirkt.
Zunächst untersuchen wir ein vereinfachtes 2-Körper-Problem (1-Körper-Problem) der Himmelsmechanik und betrachten hierzu die Bewegung eines Planeten um die Sonne. Ziel ist es, die Position des Planeten zu einem bestimmten Zeitpunkt t zu berechnen. Es gelten folgende Annahmen:
Die Form der Bahnkurve des Planeten (zeitunabhängig) wurde erstmals von Johannes Kepler bestimmt und später von Sir Isaac Newton analytisch exakt hergeleitet:
Erstes Keplersches Gesetz
Die Umlaufbahn des Planeten um die Sonne ist eine raumfeste ebene Ellipse, in einem Brennpunkt ist die Position der Sonne
Dies wird kurz in Abschnitt 1.2 hergeleitet. Die dafür benötigten mathematischen und physikalischen Grundlagen werden in Abschnitt 1.1 dargestellt. Die zeitabhängige Bahn des Planeten kann nicht analytisch exakt berechnet werden, wir schlagen eine Berechnung vor, die ohne die numerische Berechnung der Bewegungsgleichungen (System von gewöhnlichen Differentialgleichungen) auskommt, siehe Abschnitt 1.3. Neben der zeitabhängigen Bahn berechnen wir daraus die Umlaufzeit des Planeten und leiten daraus im Abschnitt 1.4 das dritte Keplersche Gesetz ab, das üblicherweise aus dem zweiten Keplerschen Gesetz (auf das wir hier nicht weiter eingehen) mittels Integration hergeleitet wird:
Drittes Keplersches Gesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten sind proportional zu den dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Ellipsenbahnen
In Abschnitt 1.5 stellen wir die Bewegungsgleichung der obigen 2-Körper-Probleme (System aus 4 bzw. 8 gewöhnlichen Differentialgleichungen) auf und zeigen, wie sie numerisch gelöst werden können. Schließlich vergleichen wir in Abschnitt 1.6 die verschiedenen Methoden zur Berechnung der Position des Planeten zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dies ist insofern wichtig, da wir für allgemeine n-Körper-Probleme zeitabhängige Bahnkurven nur aus den jeweiligen Bewegungsgleichungen berechnen können und wir dafür zuverlässige Abschätzungen der entstehenden Rundungsfehler benötigen. Lösungsmethoden für Differentialgleichungen sind im Allgemeinen fehleranfälliger als andere numerische Methoden. Nur die Bahnkurven von 2-Körper-Problemen und speziellen 3-Körper-Problemen können analytisch exakt gelöst werden.
Alle numerischen Berechnungen, insbesondere die Bahnsimulationen, werden mit der Programmierplattform MATLAB durchgeführt. Bei berechtigtem Interesse können die dafür erstellten MATLAB-Skripte und -Funktionen zur Verfügung gestellt werden.
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