1.2  Bahnkurve des Planeten und erstes Keplersches Gesetz

Die Form der Bahnkurve des Planeten (erstes Keplersches Gesetz) benötigen wir in den nächsten Abschnitten. Die folgende kurze Herleitung orientiert sich an https://de.wikipedia.org/wiki/Keplersche_Gesetze.

Die Form der Bahnkurve wird in Polarkoordinaten dargestellt, dazu benötigen wir den Radius r in Abhängigkeit vom Winkel φ. Aus der Kettenregel folgt:

$\left(1.5\right)\dot{r}\left(t\right)=\dot{r}\left(\phi \left(t\right)\right)=\frac{dr\left(\phi \left(t\right)\right)}{dt}=\frac{dr}{d\phi }\dot{\phi }\left(t\right)$

Bemerkung: Wir übernehmen hier die Notation aus obigem Wikipedia-Artikel. Genauer müsste man schreiben:

$r\left(t\right)=\tilde{r}\left(\phi \left(t\right)\right)\Rightarrow \dot{r}\left(t\right)=\frac{d\tilde{r}}{d\phi }\dot{\phi }\left(t\right)$

wobei r von t und $\tilde{r}$ von $\phi$ abhängig ist.

Aus (1.4) folgt:

$\left(1.6\right)\dot{\phi }\left(t\right)=\frac{L}{m{r}^2\left(t\right)}$

Setzt man (1.5) und (1.6) in (1.3) ein ergibt sich:

$E=\frac{m}{2}\left({\left(\frac{dr}{d\phi }\frac{L}{m{r}^2\left(\phi \right)}\right)}^2+{\left(r\left(\phi \right)\frac{L}{m{r}^2\left(\phi \right)}\right)}^2\right)-GMm\frac{1}{r\left(\phi \right)}$

$\Rightarrow {\left(\frac{dr}{d\phi }\right)}^2\frac{L^2}{2m{r}^4\left(\phi \right)}=E-\frac{L^2}{2m{r}^2\left(\phi \right)}+GMm\frac{1}{r\left(\phi \right)}$

$\Rightarrow {\left(\frac{dr}{d\phi }\right)}^2=\frac{2m{r}^4\left(\phi \right)}{L^2}\left(E-\frac{L^2}{2m{r}^2\left(\phi \right)}+GMm\frac{1}{r\left(\phi \right)}\right)$

Diese gewöhnliche Differentialgleichung kann, ziemlich aufwendig, mit Standardmethoden gelöst werden. Einfacher ist es, die Lösung $r\left(\phi \right)$ zu „raten“ und nachzuweisen, dass sie die obige Differentialgleichung erfüllt.

Wir nehmen an, die Lösung sei die allgemeine Form eines Kegelschnitts mit Parameter p und numerischer Exzentrizität ε:

$\left(1.7\right)r\left(\phi \right)=\frac{p}{1+\epsilon \cos \left(\phi \right)}$

Für ε = 0 ist $r\left(\phi \right)$ ein Kreis, für 0 < ε < 1 ist $r\left(\phi \right)$ eine Ellipse, für ε = 1 ist $r\left(\phi \right)$ eine Parabel und für ε > 1 ist $r\left(\phi \right)$ eine Hyperbel.

Berechnung und Quadrierung der Ableitung von (1.7) ergibt nach kurzer Rechnung:

${\left(\frac{dr}{d\phi }\right)}^2=\frac{r^4\left(\phi \right)}{p^2}\left({\epsilon }^2-1-\frac{p^2}{r^2\left(\phi \right)}+\frac{2p}{r\left(\phi \right)}\right)$

Durch Vergleich der Koeffizienten von r(t) in beiden Differentialgleichungen ergibt sich für p und ε:

$p=\frac{L^2}{m^{2}GM},\epsilon =\sqrt{1+\frac{2E{L}^2}{m^3{M}^2{G}^2}}$

Damit kann für einen gegebenen Winkel $\phi \in [0,\pi ]$ die Position in kartesischen Koordinaten bestimmt werden:

$(1.7\text{'})x\left(\phi \right)=\frac{p}{1+\cos \left(\phi \right)}\cos \left(\phi \right),y\left(\phi \right)=\frac{p}{1+\cos \left(\phi \right)}\sin \left(\phi \right)$

Da E < 0 für das System Erde-Sonne gilt, siehe Abschnitt 1.1.4, folgt aus der Definition von $\epsilon$, dass 0 < $\epsilon$ < 1 ist, d.h. der Kegelschnitt (1.7) ist eine Ellipse, wobei aus der Definition der Polarkoordinaten für (1.7) folgt, dass die Sonne in einem Brennpunkt steht. Damit ist das erste Keplersche Gesetz hergeleitet.

Die folgenden Grafiken zeigen Objekte auf einer elliptischen, einer parabolischen und einer hyperbolischen Bahn um die Sonne. Der sonnennächste Punkt der Bahnen ist ca. eine astronomische Einheit (AE) von der Sonne entfernt, die Form der Bahn ist von der Geschwindigkeit vp in diesem Punkt abhängig. Die Grafiken wurde mit dem Matlab Skript „./Matlab_Grafik/bahn_animationen.m “ erzeugt.

 

 

 

 

Anwendung: Berechnung von Fluchtgeschwindigkeiten

Die Fluchtgeschwindigkeit $v_2$ (2. kosmische Geschwindigkeit) ist die Geschwindigkeit, die ein Objekt benötigt um aus dem Schwerefeld eines sehr viel größeren Objekts zu entkommen. In diesem Fall ist $\epsilon$ = 1 (Parabelbahn), und daraus folgt wegen oben: E = 0. Dann folgt aus (1.3) :

$0=m{v}_2^2-GMm\frac{1}{r}\Rightarrow v_2=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$

Berechnung einiger Fluchtgeschwindigkeiten:

$v_2$ der Erde auf der Erdoberfläche (r = 6371 km):               $v_2$ = 11,186 km/s

$v_2$ der Sonne auf der Sonnenoberfläche (r = 696340 km):  $v_2$ = 617,47 km/s

$v_2$ der Sonne im Erdabstand (r = 149597870,7 km):           $v_2$ = 42,127 km/s

Diese Werte wurden mit dem Matlab Skript

./Basis_2Koerper/compute_astro_data.m

berechnet.

 

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