1.5 Bewegungsgleichungen des 2-Körper-Problems

1.5.1 Spezielles 2-Körper-Problem (Sonne fix)

Beim speziellen 2-Körper-Problem ist ein Objekt (Sonne) mit Masse M fix im Ursprung des Koordinatensystems und nur von ihm geht eine Anziehungskraft aus. Gesucht ist die Position $\vec{p} (t) = (\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix})$ des zweiten Objekts (Planet) und seine Geschwindigkeit $\vec{w} (t) = (\begin{matrix} u (t) \\ v (t) \end{matrix})$ in einem zweidimensionalen Koordinatensystem. Dieses Problem wird durch das folgende System von gewöhnlichen Differentialgleichungen dargestellt (G: Gravitationskonstante):

$\dot{x} (t) = u (t)$

$\dot{y} (t) = v (t)$

$\dot{u} (t) = - G M \frac{x (t)}{{\sqrt{x^{2} (t) + y^{2} (t)}}^{3}}$

$\dot{v} (t) = - G M \frac{y (t)}{{\sqrt{x^{2} (t) + y^{2} (t)}}^{3}}$

Anfangsbedingungen für t = t₀:

x(t₀) = x₀, y(t₀) = y₀; u(t₀) = u₀ und v(t₀) = v₀.

Moderne Programmierplattformen, wie MATLAB, stellen für derartige Problemstellungen Verfahren (ODE-Solver) zur numerischen Lösung von Systemen von gewöhnlichen Differentialgleichungen zur Verfügung.

Falls sich der Planet auf einer elliptischen Bahn befindet, können zur Vereinfachung auch folgende Anfangsbedingungen betrachtet werden:

t = 0, x(0) = r_p, y(0) = 0, u(0) = 0 und v(0) = v_p.

Das heißt, bei t = 0 befindet sich der Planet auf der x-Achse mit minimalem Abstand (Perihel) und maximaler Geschwindigkeit. Die folgende Animation zeigt das System Erde-Sonne für diesen Fall:

Erde_Sonne

Die Variable „eps“ bezeichnet hier die Exzentrizität der elliptischen Erdbahn.

1.5.2 Allgemeines 2-Körper-Problem

Sei $\vec{p_{1}} (t) = (\begin{matrix} x_{1} (t) \\ y_{1} (t) \end{matrix})$ die Position des ersten Objekts mit Masse M, $\vec{p_{2}} (t) = (\begin{matrix} x_{2} (t) \\ y_{2} (t) \end{matrix})$ die Position des zweiten Objekts mit Masse m, weiter sei $\vec{w_{1}} (t) = (\begin{matrix} u_{1} (t) \\ v_{1} (t) \end{matrix})$ der Geschwindigkeitsvektor des ersten Objekts und $\vec{w_{2}} (t) = (\begin{matrix} u_{2} (t) \\ v_{2} (t) \end{matrix})$ der Geschwindigkeitsvektor des zweiten Objekts in einem zweidimensionalen Koordinatensystem, dann wird dieses Problem durch das folgende System von gewöhnlichen Differentialgleichungen dargestellt:

${\dot{x}}_{1} (t) = u_{1} (t)$

${\dot{y}}_{1} (t) = v_{1} (t)$

${\dot{x}}_{2} (t) = u_{2} (t)$

${\dot{y}}_{2} (t) = v_{2} (t)$

${\dot{u}}_{1} (t) = - G M \frac{x_{1} (t) - x_{2} (t)}{∥ {\vec{p}}_{1} (t) - {\vec{p}}_{2} (t) ∥^{3}}$

${\dot{v}}_{1} (t) = - G M \frac{y_{1} (t) - y_{2} (t)}{∥ {\vec{p}}_{1} (t) - {\vec{p}}_{2} (t) ∥^{3}}$

${\dot{u}}_{2} (t) = - G M \frac{x_{2} (t) - x_{1} (t)}{∥ {\vec{p}}_{1} (t) - {\vec{p}}_{2} (t) ∥^{3}}$

${\dot{v}}_{2} (t) = - G M \frac{y_{2} (t) - y_{1} (t)}{∥ {\vec{p}}_{1} (t) - {\vec{p}}_{2} (t) ∥^{3}}$

Anfangsbedingungen für t = t₀:

$x_{1} (t_{0}) = x_{1}^{0}, y_{1} (t_{0}) = y_{1}^{0}, u_{1} (t_{0}) = u_{1}^{0}, v_{1} (t_{0}) = v_{1}^{0},$

$x_{2} (t_{0}) = x_{2}^{0}, y_{2} (t_{0}) = y_{2}^{0}, u_{2} (t_{0}) = u_{2}^{0}, v_{2} (t_{0}) = v_{2}^{0},$

Für beide Objekte kann der gemeinsame Schwerpunkt ${\vec{p}}_{S P}$ (Baryzentrum) berechnet werden:

${\vec{p}}_{S P} (t) = (\begin{matrix} x_{S P} (t) \\ y_{S P} (t) \end{matrix}) = \frac{1}{M + m} (M {\vec{p}}_{1} (t) + m {\vec{p}}_{2} (t))$

Der Geschwindigkeitsvektor ${\vec{w}}_{S P} (t) = {\vec{w}}_{S P} = (\begin{matrix} u_{S P} \\ v_{S P} \end{matrix})$ des Schwerpunkts ist für alle t konstant. Dies folgt aus dem Impulserhaltungssatz.

Daher gilt für ein $\vec{c} \in R^{2}$ :

$\vec{c} = M (\begin{matrix} u_{1} (t) \\ v_{1} (t) \end{matrix}) + m (\begin{matrix} u_{2} (t) \\ v_{2} (t) \end{matrix}) = (M + m) (\begin{matrix} u_{S P} \\ v_{S P} \end{matrix})$

Mit diesen Gleichungen kann ${\vec{w}}_{S P}$ leicht aus den Anfangsbedingungen berechnet werden.

Definiert man den Schwerpunkt als Nullpunkt eines Koordinatensystems (Schwerpunkt-Koordinatensystem oder baryzentrische Koordinaten), so bleibt für die Beschreibung dieses Systems das obige System von Differentialgleichungen unverändert, nur die Anfangsbedingungen müssen wie folgt angepasst werden:

Anfangsbedingungen für t = t₀ im Schwerpunkt-System:

$x_{1} (t_{0}) = x_{1}^{0} - x_{S P} (t_{0}),$ $y_{1} (t_{0}) = y_{1}^{0} - y_{S P} (t_{0}),$

$u_{1} (t_{0}) = u_{1}^{0} - u_{S P},$ $v_{1} (t_{0}) = v_{1}^{0} - v_{S P},$

$x_{2} (t_{0}) = x_{2}^{0} - x_{S P} (t_{0}),$ $y_{2} (t_{0}) = y_{2}^{0} - y_{S P} (t_{0}),$

$u_{2} (t_{0}) = u_{2}^{0} - u_{S P},$ $v_{2} (t_{0}) = v_{2}^{0} - v_{S P},$

In diesem System sind die Bahnen der zwei Objekte Kegelschnitte (Ellipse, Parabel, Hyperbel), das kann ähnlich wie in Abschnitt 1.2 bewiesen werden.

Die folgenden beiden Animationen zeigen die Bewegungen zweier Objekte, wobei der Beobachter im ruhenden Schwerpunkt (SP) ist. Die Bahnen der Objekte sind Ellipsen.

Die Objekte in der nächsten Animation haben eine und eine halbe Sonnenmasse. In der darauffolgenden Animation haben sie die doppelte und die dreifache Sonnenmasse.

halb_ganz_fix

2_3_SM_SP_fix

Die folgenden Animationen zeigen die obigen Objekte aus der Sicht eines ruhenden Beobachters, während sich der Schwerpunkt der Objekte mit konstanter Geschwindigkeit vorbei bewegt. Die Bahnen der Objekte unterliegen hier scheinbaren Taumelbewegungen.

halb_ganz_moving

2_3_SM_SP_moving

Diese Animationen wurden mit dem Matlab Skript

./Allg_2Koerper/bahn_animationen.m

erzeugt.

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