1.4 Umlaufzeit und drittes Keplersches Gesetz

Sei r_p und r_a der Abstand des Planeten im Perihel und im Aphel und T die Umlaufzeit des Planeten, dann folgt aus (1.9) und der Tatsache, dass der Planet vom Perihel zum Aphel die halbe Umlaufzeit ( $r (\frac{T}{2}) = r_{a}$ ) benötigt:

$\int_{r_{p}}^{r_{a}} \frac{x}{\sqrt{a x^{2} + b x + c}} d x = \frac{T}{2}$

Wegen (1.8) , (1.8') und (1.8'') gilt:

$\sqrt{a r_{p}^{2} + b x_{p} + c} = \sqrt{a r_{a}^{2} + b x_{a} + c} = 0$ und

$\frac{2 a r_{a} + b}{\sqrt{b^{2} - 4 a c}} = - \frac{2 a r_{p} + b}{\sqrt{b^{2} - 4 a c}} = - 1$

Eingesetzt in (1.10) für $t = \frac{T}{2}$ ergibt sich:

$\frac{b}{2 a \sqrt{- a}} \arcsin (- 1) - \frac{b}{2 a \sqrt{- a}} \arcsin (1) = \frac{T}{2} \Leftrightarrow$

$(1.12) T = - \frac{b}{2 a \sqrt{- a}} π$

Sei h die Länge der großen Halbachse der Umlaufellipse des Planeten, dann folgt aus (1.8') und (1.8'') :

$h = \frac{1}{2} (r_{p} + r_{a}) = \frac{1}{2} (\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) = \frac{- b}{2 a}$

Einsetzen des Definitionswerts von b ergibt:

$h = \frac{- 2 G M}{2 a} \Leftrightarrow a = \frac{- G M}{h}$

Einsetzten dieses Werts von a und des Definitionswerts von b in (1.12) ergibt eine Formel für die Umlaufzeit in Abhängigkeit von der großen Halbachse h:

$T = \frac{h \sqrt{h}}{\sqrt{G M}} 2 π$

Quadrierung dieser Gleichung ergibt die Variante des dritten Keplerschen Gesetzes für einen Planeten:

$(1.13) T^{2} = h^{3} \frac{4 π^{2}}{G M}$

Seien $T_{1}$ und $T_{2}$ die Umlaufzeiten zweier Planeten und $h_{1}$ und $h_{2}$ ihre großen Halbachsen, dann folgt daraus die allgemeine Formulierung des dritten Keplerschen Gesetzes:

$(1.13') {(\frac{T_{1}}{T_{2}})}^{2} = {(\frac{h_{1}}{h_{2}})}^{3}$

Dieses Gesetz gilt, wenn die Masse der Sonne sehr viel größer als die des Planeten ist. Für nicht vernachlässigbare Massen der Planeten (oder Systeme mit zwei Sonnen) gilt ein ähnliches Gesetz, das wir hier aber nicht weiter betrachten.

Anwendung:

Berechnung der Masse M des zentralen schwarzen Lochs (Sagittarius A*) der Milchstraße, siehe https://www.lehman.edu/faculty/anchordoqui/chapter25.pdf

Der Stern S0-2 umkreist Sagittarius A* mit einer Umlaufzeit T = 15,2 Jahren auf einer elliptischen Bahn mit großer Halbachse h = 1.45e14 m.

Aus (1.13) und G = 6.67430e-11 lässt daraus M berechnen:

$M = h^{3} \frac{4 π^{2}}{G T^{2}} = 7.83696278 e 36 k g$

Das entspricht fast 4 Millionen Sonnenmassen.

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